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數學競賽之窗

數 學 競 賽 之 窗

本欄特邀主持人 熊 斌 馮志剛

有關本欄目的稿件,請直接寄給熊斌(200062,華東師大數學系),或馮志剛(200231,上海市上海中學).提供試題與解答請盡量注明出處.

  本期給出由肖韌吾先生提供的1997年

美國數學奧林匹克(U SAM O)試題及解答.

3333

第26屆(1997年)美國數學奧林匹克

11令p1,p2,p3,…為依遞增次序排列的

全體質數,實數x0在0,1之間,對正整數k,

定義

x k=0, 若x k-1=0,

p k

x k-1

,若x k-1≠0,

其中{x}=x-x]表示x的分數部分.求出所有適合0

21分別以△A B C的邊B C,CA,A B為底向外作等腰三角形B CD,CA E,A B F.證明分別過A,B,C作E F,FD,D E的垂線,這三條垂線共點.

31證明對任意整數n,存在一個唯一的多項式Q,系數∈{0,1,…,9},Q(-2)= Q(-5)=n.

41切一個凸n邊形指的是選出一對相鄰的邊A B,B C,切去△M B N得出一個凸n +1邊形,其中M,N分別為A B,B C的中點.一個正六邊形P6,面積為1,切成七邊形P7,再將P7(用七種可能的切法之一)切成八邊形P8,如此繼續下去.證明不論怎么切,對

所有n≥6,P n的面積大于1

3

.

51證明對所有正實數a,b,c,

(a3+b3+abc)-1+(b3+c3+abc)-1+(c3 +a3+abc)-1≤(abc)-1.

61設非負整數a1,a2,

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…,a1997滿足

a i+a j≤a i+j≤a i+a j+1

(1≤i,j,i+j≤1997).證明存在實數x,對所有1≤n≤1997,滿足a n=[nx].

解答

11如果x0是有理數n

m

,n,m為自然數,

n

p1

x0

是一個分數,分母為n或n 的約數,因此x1仍是有理數,在0,1之間,并且分母小于x0的分母.類似地,x k為有理數,分母嚴格小于x k-1的分母(k=1,2,…).于是,經有限多步后,序列成為0.

如果x0是無理數,那么p1

x0

是無理數,去

掉整數p

x0

后還是無理數,即x1是無理數,類似地,x k(k=1,2,…)都是無理數,序列永遠不會為0.

21分別以D,E,F為圓心,DB,EC,FA 為半徑作圓.⊙E,⊙F的公共弦、⊙F,⊙D 的公共弦、⊙D,⊙E的公共弦(所在直線)即分別過A,B,C所作的E F,FD,D E的垂線.

熟知三條公共弦交于一點,這點(即三圓的根心)對三個圓的冪相等.因此結論成立.

31如果多項式f(x)與g(x)在x=-2與x=-5時值均相等,就記成f(x)=g(x).如x2+7x+10=0.

在n∈{0,1,…,9}時,常數n即為所求的Q.在n=10時,Q(x)=x3+6x2+3x滿足要求.將它簡記為(0,3,6,1).一般地,Q(x) =a k x k+…+a0簡記為(a0,a1,…,a k).

設Q(x)=(a0,a1,…,a k)的系數∈{0,1, 2,…,9}.我們證明存在多項式P(x),系數∈{0,1,…,9},并且P(x)=Q(x)+1,P(x)的系數和也等于Q(x)的系數和+1.為此,對Q(x)的系數和a0+a1+…+a k進行歸納.奠基顯然.設對系數和較小的多項式結論已經成立.

54

1998年第10期              數學通訊

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