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第四章作業詳解

第一節 向量和向量組

【思考題1】若一個本科學生大學階段共修 36 門課程,成績描述了學生的學業水平,把他的學業水平用一個向量來表示,這個向量是幾維的?.

解 36 維的.如果還需要考察其它指標,比如平均成績、總學分等,維數還將增加.

第二節 向量組的線性相關性

1. 設,111????? ??=λα,112????? ??=λα,113????? ??=λα,12???

??

??=λλβ問:λ 取何值時,

① β 能由α1, α2, α3 線性表示,且表示式唯一; ② β 不能由α1, α2, α3線性表示;

③ β 能由α1, α2, α3線性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式. [分析] 解決此類問題的思路是:設332211αααβx x x ++=,即

???

?

?

??=321321),,(x x x αααβ,記作Ax β=

于是,題目的問題就相應地轉化為:非齊次線性方程組βAx =何時有唯一解、無解、有無窮多解.

解法一 令矩陣),,(321αααA =,并建立非齊次線性方程組βAx =,即

βααα=???

?

? ??321321),,(x x x

對增廣矩陣(A ,β)作初等行.

變換, (A ,β)=??

???

??21111111λλλλλ

2

3131

23

1)1(r r r r r r r r ++--?λ??

???? ??+-+----22

)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ

(下面對 內的元素進行討論)

①當λ≠1且λ≠-2時,R (A )=R (A ,β)=3,于是βAx =有唯一解,此時,

β可由321,,ααα線性表示,且表示法唯一.

(下面進一步討論λ的其它取值)

② 當λ=-2時,代入上式,有r

~ ),(βA ???

?

?

??---300063304211

R (A )=2,R (A ,β)=3,于是βAx =無解,此時,β不可由321,,ααα線性表示.

③ 當λ=1時,r

~ ),(βA ???

?

?

??000000001111

R (A )=R (A ,β)=1<3,于是βAx =有無窮多解,此時,β可由321,,ααα線性表示,但表示法不唯一.

根據行階梯形矩陣,此時βAx =的同解方程組為:

1321=++x x x

令自由未知量x 2=k 1, x 3=k 2,得通解?

??

?

?

??--=????? ??=2113211k k k k x x x x ,從而有

?

??

?

?

??--=2113211),,(k k k k αααβ3221121)1(αααk k k k ++--=

(其中k 1, k 2為任意常數)

解法二 (由于解法一中方程組βAx =的系數矩陣是方陣,故也可以利用克拉默法則求解)

令矩陣),,(321αααA =,并建立方程組βAx =.

其系數行列式為:λ

λλ11111

1=A 2)1)(2(-+=λλ

(利用∣A ∣各列元素之和都是2+λ 的特點,計算步驟依次為:r 1+r 2+r 3,然后對第一行提取公因子,再r 2-r 1, r 3-r 1 )

① 當λ≠1且λ≠-2時,0≠A ,從而βAx =有唯一解,此時,β可由321,,ααα線性表示,且表示法唯一. ② 當λ=-2時,帶入增廣矩陣,有

????

? ??----=42112121011

2),(βA r ~ ?????

??---300063304211

R (A )=2,R (A ,β)=3,從而βAx =無解,此時,β不可由321,,ααα線性表示.

③ 當λ=1時, 有????? ??=111111111111),(βA r ~ ???

?

?

??000000000111

R (A )=R (A ,β)=1<3,從而βAx =有無窮多解,此時,β可由321,,ααα線性表示,但表示法不唯一.

(注: 本題考察的是“向量的線性表示”與“非齊次線性方程組”之間的關系.

第一種解法是是常規解法:通過對含參數的增廣矩陣作初等行變

換,再根據非齊次線性方程組的解的判定條件討論參數的值. 第二種解法只適用于方程組的系數矩陣是方陣的情形:先根據克拉默法則確定參數的取值范圍,再討論解的情況. )

2. 設向量組(I): α1, α2, …, αm 和向量組(II): β1, β 2, …, βm 滿足

?????

?

?+++=+==m

m αααβααβαβ 212

121

1 證明:向量組(I)和(II)等價.

[分析] 判斷兩個向量組(I):s ααα, ,,21和(II):t βββ, ,,21是否等價,其基本方法是: 方法一(定義)

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